Question

5．定义：如果两个椭圆的离心率相等，那么称这两个椭圆相似，它们的长轴长之比（大于1）叫做这两个椭圆的相似比．（1）设m，n∈N^*，试判断椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1和椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{m+n}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1能否相似？若能，求出它们的相似比；若不能，请说明理由．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C₃：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和椭圆C₄：$\frac{{x}^{2}}{{{a}^{2}}_{1}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}^{2}}_{1}}$=1（a₁＞b₁＞0）相似，且a₁＞a，过椭圆C₃的右焦点F且不垂直于x轴的直线l与这两个椭圆自上而下依次交于点A，B，C，D，射线OB，OC分别与椭圆C₄交于点M，N，连接MN，AM，DN．
求证：①MN∥l；
②△ABM和△CDN的面积相等．

Answer 1

分析 （1）求离心率e₁=$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$，e₂=$\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{m+n}}$，从而可得n=2+$\frac{1}{m}$，从而解得；
（2）①由题意，记相似比为d=$\frac{{a}_{1}}{a}$（d＞1），从而可得a₁=ad，c₁=cd，b₁=bd，从而设点B（x_B，y_B），则点M（dx_B，dy_B），点C（x_C，y_C），则点N（dx_C，dy_C），从而求解；
②设直线l的方程为y=k（x-c），从而联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$得（a²k²+b²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，从而可得x_B+x_C=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，同理可得x_A+x_D=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，从而证明．

解答 解：（1）椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率e₁=$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$，
椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{m+n}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1的离心率e₂=$\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{m+n}}$，
故$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$=$\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{m+n}}$，
解得，n=2+$\frac{1}{m}$，
故m=1，n=3时成立；
故相似比为$\frac{\sqrt{m+n}}{\sqrt{m+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
（2）证明：①由题意，记相似比为d=$\frac{{a}_{1}}{a}$（d＞1），
则a₁=ad，c₁=cd，b₁=bd，
∴椭圆C₄：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}{d}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}{d}^{2}}$=1，
设点B（x_B，y_B），则点M（dx_B，dy_B），
同理点C（x_C，y_C），则点N（dx_C，dy_C），
故k_BC=$\frac{{y}_{C}-{y}_{B}}{{x}_{C}-{x}_{B}}$，k_MN=$\frac{d{y}_{C}-d{y}_{B}}{d{x}_{C}-d{x}_{B}}$=$\frac{{y}_{C}-{y}_{B}}{{x}_{C}-{x}_{B}}$，
故BC∥MN，
即MN∥l；
②设直线l的方程为y=k（x-c），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$化简得，
（a²k²+b²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，
△=（2a²k²c）²-4（a²k²+b²）（a²k²c²-a²b²）
=4a²b⁴（k²+1）＞0，
∴x_B+x_C=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
同理可得x_A+x_D=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
故x_A+x_D=x_B+x_C，
故x_A-x_B=x_C-x_D，
故AB=CD；
又∵AB边上高与CD边上的高相等，
∴△ABM和△CDN的面积相等．

点评 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了学生的化简运算的能力．