【题目】如图,在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中, AB 3 , AA1 4 , M 为 AA1 的中点, P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 点的最短路线长为 ,设这条最短路线与 CC1 的交点为 N 。求:
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(2) PC 和 NC 的长;
(3)平面 NMP 和平面 ABC 所成锐二面角大小的正切值.
【答案】(1) ;(2) PC 2 , NC ;(3)
【解析】
(1)由展开图为矩形,用勾股定理求对角线长.
(2)在侧面展开图中三角形MAP1是直角三角形,可以求出线段AP的长度,进而可以求出PC的长度,再由相似比可以求得CN的长度.
(3)补形,找出两面的交线,在特殊的位置作出线面角,如图2.二面角易求.
解:(1)正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为
(2)如图1,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P运动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线
图1
设PC=x,则P1C=x,在Rt△MAP1中,由勾股定理得(3+x)2+22=29
求得x=2
∴PC=P1C=2
∵
∴
(3)如图2,连接PP1,则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线,作NH⊥PP1于H,又CC1⊥平面ABC,连接CH,由三垂线定理得,CH⊥PP1
图2
∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)
在Rt△PHC中,∵,∴
在Rt△NCH中,
故平面 NMP 和平面 ABC 所成锐二面角大小的正切值为
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【题目】如图,在三棱锥中,底面是边长为4的正三角形,,底面,点分别为,的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成的角的正弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+(ω≥0,|φ|<π)的图象与直线y=c(<c<)的三个相邻交点的横坐标为2,6,18,若a=f(lg),b=f(lg2),则以下关系式正确的是( )
A. a+b=0B. a﹣b=0C. a+b=1D. a﹣b=1
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【题目】已知a、b、c为的三边长,直线的方程为,圆.
(1)若为直角三角形,c为斜边长,且直线与圆M相切.求c的值;
(2)已知为坐标原点,点,,,,平行于ON的直线h与圆M相交于R,两点,且,求直线h的方程:
(3)若为正三角形,对于直线上任意一点P,在圆上总存在一点,使得线段的长度为整数,求c的取值范围;
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【题目】如图已知四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA 的长为 8,且垂直于底面,点 M . N 分别是 DC .AB 的中点。
求:(1)异面直线 PM 与 CN 所成角的正切值;
(2)四棱锥 P ABCD 的表面积.
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【题目】如果有穷数列、、、、(为正整数)满足条件、、,即,我们称其为“对称数列”.例如,数列、、、、与数列、、、、、都是“对称数列”.
(1)设是项的“对称数列”,其中、、、是等差数列,且,,依次写出的每一项;
(2)设是项的“对称数列”,其中、、、是首项为,公比为的等比数列,求各项的和;
(3)设是项的“对称数列”,其中、、、是首项为,公差为的等差数列,求前项的和.
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【题目】嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,如图中轨道③所示,其近月点与月球表面距离为公里,远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里,则该椭圆形轨道的离心率约为
A. B. C. D.
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