Question

3．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）点P是BD的中点．求证：C₁P∥平面AB₁D₁；
（2）若点Q是BD上的一个动点，C₁Q与平面AB₁D₁ 是否平行？为什么？

Answer 1

分析 （1）连结A₁C₁，B₁D₁，交于点O，由已知条件推导出四边形APC₁O是平行四边形，由此能证明C₁P∥平面AB₁D₁．
（2）由已知条件推导出平面BDC₁∥平面AB₁D₁，由此得到C₁Q∥平面AB₁D₁．

解答 （1）证明：连结A₁C₁，B₁D₁，交于点O，则O是A₁C₁中点，连结A₁O，AP，
∵点P是BD的中点，∴点P是AC中点，
∴AP$\underset{∥}{=}$OC₁，∴四边形APC₁O是平行四边形，
∴AO∥C₁P，
∵OA?平面AB₁D₁，C₁P?平面AB₁D₁，
∴C₁P∥平面AB₁D₁．
（2）解：C₁Q∥平面AB₁D₁．
∵AO∥C₁P，B₁D₁∥BD，
AO∩B₁D₁=O，C₁P∩BD=P，
AO?平面AB₁D₁，B₁D₁?平面AB₁D₁，C₁P?平面BDC₁，BD?平面BDC₁，
∴平面BDC₁∥平面AB₁D₁，
∵点Q是BD上的一个动点，∴C₁Q?平面BDC₁，
∴C₁Q∥平面AB₁D₁．

点评 本题考查线面平行的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．