Question

15．如果$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是平面内所有向量的一组基底，那么（　　）

• A． 该平面内存在一向量$\overrightarrow a$不能表示$\overrightarrow a=m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$，其中m，n为实数
• B． 若向量$m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$与$\overrightarrow a$共线，则存在唯一实数λ使得$m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}=λ\overrightarrow a$
• C． 若实数m，n使得$m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow 0$，则m=n=0
• D． 对平面中的某一向量$\overrightarrow a$，存在两对以上的实数m，n使得$\overrightarrow a=m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$

Answer 1

分析 A，根据平面向量的基本定理可判定；
B，若向量$m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$，则λ不存在；
C，∴$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，$m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow 0$时，当且仅当m=n=0．
D，根据平面向量的基本定理可判定

解答 解：对于A，∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是平面内所有向量的一组基底，根据平面向量的基本定理可得该平面任一向量$\overrightarrow a$一定可以表示$\overrightarrow a=m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$，其中m，n为实数，故A错；
对于B，若向量$m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$，则λ不存在；
对于C，∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是平面内所有向量的一组基底，∴$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，$m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow 0$时，当且仅当m=n=0，故正确；
对于D，根据平面向量的基本定理可得该平面任一向量$\overrightarrow a$一定可以表示$\overrightarrow a=m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$，其中m，n为唯一实数对，故错；
故选：C

点评 本题考查了平面向量的基本概念、定理，属于基础题．