Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出BD⊥PA，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出当平面PBC与平面PDC垂直时，PA的长．

解答 证明：（Ⅰ）∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴BD⊥PA，
∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，∵∠BAD=60°，PA=PB=2，
∴BO=1，AO=CO=$\sqrt{3}$，
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，
则 P（0，-$\sqrt{3}$，2），A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
设P（0，-$\sqrt{3}$，t）（t＞0），则$\overrightarrow{BP}$=（-1，-$\sqrt{3}$，t），
设平面PBC的法向量m=（x，y，z），
则$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{m}$=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+3\sqrt{y}=0}\\{-x-\sqrt{3}y+tz=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，则x=3，z=$\frac{6}{t}$，∴$\overrightarrow{m}=（3，\sqrt{3}，\frac{6}{t}）$，
同理，平面PDC的法向量$\overrightarrow{n}=（-3，\sqrt{3}，\frac{6}{t}）$，
∵平面PCB⊥平面PDC，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=--6+$\frac{36}{{t}^{2}}$=0，
解得t=$\sqrt{6}$，∴PA=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查面面垂直时线段长的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．