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12.对于函数f(x),若存在区间A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,则称函数f(x)为“可等域函数”,区间A为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:①f(x)=|x|;②f(x)=2x2-1;③f(x)=|1-2x|;④f(x)=log2(2x-2).其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4

分析 在①中,(0,+∞)是f(x)=|x|的唯一可等域区间;在②中,[-1,1]是唯一的可等域区间;在③中,函数只有一个等可域区间[0,1]; 在④中,函数无可等域区间.

解答 解:在①中,(0,+∞)是f(x)=|x|的唯一可等域区间,故①成立;
在②中,f(x)=2x2-1≥-1,且f(x)在x≤0时递减,在x≥0时递增,
若0∈[m,n],则-1∈[m,n],于是m=-1,又f(-1)=1,f(0)=-1,而f(1)=1,故n=1,
[-1,1]是一个可等域区间;
若n≤0,则{2n21=m2m21=n,解得m=154,n=1+540,不合题意,
若m≥0,则2x2-1=x有两个非负解,但此方程的两解为1和-12,也不合题意,
故函数f(x)=2x2-1只有一个等可域区间[-1,1],故②成立;
在③中,函数f(x)=|1-2x|的值域是[0,+∞),所以m≥0,
函数f(x)=|1-2x|在[0,+∞)上是增函数,考察方程2x-1=x,
由于函数y=2x与y=x+1只有两个交点(0,1),(1,2),即方程2x-1=x只有两个解0和1,
因此此函数只有一个等可域区间[0,1],故③成立;
在④中,函数f(x)=log2(2x-2)在定义域(1,+∞)上是增函数,
若函数有f(x)=log2(2x-2)等可域区间[m,n],则f(m)=m,f(n)=n,
但方程log2(2x-2)=x无解(方程x=log2x无解),故此函数无可等域区间,故④不成立.
综上只有①②③正确.
故选:C.

点评 本题考查函数的可等域区间的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.

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