Question

（2013•温州一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足2asinB-

3

b=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当A为锐角时，求函数y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的值域．

Answer 1

分析：（I）根据正弦定理，化简2asinB-

3

b=0得2sinAsinB-

3

sinB=0，结合sinB＞0算出sinA=

3

2

，由A∈（0，π）即可得到A=

π

3

或A=

2π

3

；
（II）因为A为锐角，可得A=

π

3

，从而得到B+C=

2π

3

，将函数y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）化简为y=

3

sinB+sin（

π

2

-B），再由两角差的正弦公式和辅助角公式化简整理，得y=2sin（B+

π

6

），最后根据三角函数的图象与性质，结合角B的取值范围，即可求出函数y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵2asinB-

3

b=0
∴由正弦定理，得：2sinAsinB-

3

sinB=0，
∵B是三角形内角，可得sinB＞0…（3分）
∴等式的两边约去sinB，得2sinA-

3

=0，即sinA=

3

2

…（5分）
因此，A=

π

3

或A=

2π

3

           …（7分）
（Ⅱ）∵A为锐角，∴结合（I）得A=

π

3

结合三角形内角和，得B+C=

2π

3

           …（9分）
∵y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）=

3

sinB+sin（

π

2

-B）
=

3

sinB+cosB=2sin（B+

π

6

）           …（12分）
∵B∈（0，

π

3

），得B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

）
∴sin（B+

π

6

）∈(

1

2

，1]，可得2sin（B+

π

6

）∈（1，2]
因此，函数y=

3

sinB+sin（C-

π

6

）的值域域为（1，2]…（14分）

点评：本题给出三角形中的边角关系，求角A的大小并依此求一个三角函数式的值域，着重考查了用正余弦定理解三角形、三角函数的图象与性质和三角恒等变换等知识，属于中档题．