Question

已知双曲线=1的右焦点是F，右顶点是A,虚轴的上端点是B，·=6-4，∠BAF=150°.
（1）求双曲线的方程；
（2）设Q是双曲线上的点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若+2=0，求直线l的斜率.

Answer 1

（1）（2）k=±

（1）由条件知A(a,0),B(0,b),F(c,0)
·=（-a, b)·(c-a,0)=a(a-c)=6-4

·

·

cos∠BAF=

=-=cos150°=-.
∴a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.
∴a=,b²=c²-a²=2,故双曲线的方程为.
(2)∵点F的坐标为（2，0）.
∴可设直线l的方程为y=k(x-2),
令x=0，得y=-2k，即M(0,-2k)
设Q（m,n），则由+2=0得
(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).
即(4-m,2k-n)=（0,0).
即，∵.
∴=1，得k²=，k=±.