Question

1．已知$cos（x-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{10}，x∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}）$．
（1）求sinx的值；
（2）求$sin（2x+\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可求范围$x-\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，利用同角三角函数基本关系式可求sin（x-$\frac{π}{4}$），利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而利用倍角公式可求sin2x，cos2x的值，根据两角和的正弦函数公式可求$sin（2x+\frac{π}{6}）$的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为$x∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}）$，
所以$x-\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，…（1分）
于是$sin（x-\frac{π}{4}）=\sqrt{1-{{cos}^2}（x-\frac{π}{4}）}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$…（3分）
$sinx=sin[（x-\frac{π}{4}）+\frac{π}{4}]=sin（x-\frac{π}{4}）cos\frac{π}{4}+cos（x-\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}$…（4分）
=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{10}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{4}{5}$．…（6分）
（2）因为$x∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}）$．故$cosx=-\sqrt{1-{{sin}^2}x}=-\sqrt{1-{{（\frac{4}{5}）}^2}}=-\frac{3}{5}$．…（8分）
$sin2x=2sinxcosx=-\frac{24}{25}$，$cos2x=2{cos^2}x-1=-\frac{7}{25}$．…（10分）
所以中$sin（2x+\frac{π}{6}）=sin2xcos\frac{π}{6}+cos2xsin\frac{π}{6}=-\frac{{7+24\sqrt{3}}}{50}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．