Question

已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+2f（2）-1]．若y=g（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：先表述出函数f（x）的解析式然后代入将函数g（x）表述出来，然后对底数a进行讨论即可得到答案．

解答： 解：∵函数y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
∴f（x）=log_ax（x＞0）．
g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=log_ax（log_ax+log_a2-1）
=（log_ax+

loga2-1

2

）²-

(loga2-1)2

4

，
①当a＞1时，y=log_ax在区间[

1

2

，2]上是增函数，∴log_ax∈[log_a

1

2

，log_a2]．
由于y=g（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，∴

1-loga2

2

≤loga

1

2

，化为log_a2≤-1，
解得a≤

1

2

，舍去．
②当0＜a＜1时，y=log_ax在区间[

1

2

，2]上是减函数，∴log_ax∈[log_a2，log_a

1

2

]．
由于y=g（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，∴

1-loga2

2

≥loga

1

2

，解得0＜a≤

1

2

．
综上可得：0＜a≤

1

2

．
故答案为：（0，

1

2

]．

点评：本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．