Question

【题目】已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x﹣1）（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln2ln3…lnn＞ （n≥2，n∈N+）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+ +1，

设g（x）=f′（x），g′（x）= ，

令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，

∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，g（x）min=g（1）=2，

∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，

∴f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．

（Ⅱ）设h（x）=（x﹣1）lnx﹣ax+a，

由（Ⅰ）知：h′（x）=lnx+ =1﹣a=g（x）﹣a，

g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）≥g（1）=2，

（i）当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）递增，

∴h（x）≥h（1）=0，满足题意．

（ii）当a＞2时，设ω（x）=h′（x），ω′（x）= ，

当x≥1时，ω′（x）≥0，∴ω（x）在[1，+∞）递增，

ω（1）=2﹣a＜0，ω（ea）=1+e﹣a＞0，

∴x0∈（1，ea），使ω（x0）=0，∵ω（x）在[1，+∞）递增，

∴x∈（1，x0），ω（x）＜0，即h′（x）＜0，

∴当x∈（1，x0时，h（x）＜h（1）=0，不满足题意．

综上，a的取值范围为（﹣∞，2]．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，令a=2，（x+1）lnx≥2（x﹣1），

∴x≥1，lnx≥ （当且仅当x=1取“=”），

令x=n（n≥2，n∈N*）得lnn＞ ，

即ln2＞ ，ln3＞ ，ln4＞ ，…，

ln（n﹣2）＞ ，ln（n﹣1）＞ ，lnn＞ ，

将上述n﹣1个式子相乘得：ln2ln3…lnn＞ = ，

∴原命题得证

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可；（Ⅲ）得到lnx≥ ，令x=n（n≥2，n∈N*），得lnn＞ ，x取不同的值，相乘即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．