Question

设常数a使方程sinx-

3

cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,根的存在性及根的个数判断

专题：三角函数的图像与性质

分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+

π

3

）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=

3

时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x₁，x₂，x₃最后相加即可．

解答： 解：sinx-

3

cosx=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）=2sin（x-

π

3

）=a，
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=-

3

时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令sin（x-

π

3

）=-

3

2

，
此时有x₁=0，x₂=

5π

3

，x₃=2π，
所以x₁+x₂+x₃=0+

5π

3

+2π=

11π

3

，
故答案为：

11π

3

．

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题，属于中档题．