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7.如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知${S_{△OAM}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,点B的纵坐标是$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$,
(Ⅰ)求cos(α-β)的值;
(Ⅱ)求2α-β 的值.

分析 (Ⅰ)根据OA=OM=1,${S_{△OAM}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,利用三角形面积的公式求解出sinα和cosα,又点B的纵坐标是$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$,求出sinβ和cosβ,即可求出cos(α-β)的值.
(Ⅱ)根据(Ⅰ)中sinα和cosα,sinβ和cosβ的值,通过二倍角公式化简,构造思想可得2α-β 的值.

解答 解:(Ⅰ)由题意,OA=OM=1
∵${S_{△OAM}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$和α为锐角,
∴$sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5},cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
又点B的纵坐标是$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$,
∴$sinβ=\frac{{\sqrt{2}}}{10},cosβ=-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$
∴$cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}({-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}})+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\frac{{\sqrt{2}}}{10}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
(Ⅱ)∵$cos2α=2{cos^2}α-1=2{({\frac{{\sqrt{5}}}{5}})^2}-1=-\frac{3}{5}$,
$sin2α=2sinα•cosα=2\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{4}{5}$,
∴$α∈({\frac{π}{2},π})$
∵$β∈({\frac{π}{2},π})$,
∴$2α-β∈({-\frac{π}{2},\frac{π}{2}})$
∵$sin(2α-β)=sin2α•cosβ+cos2α•sinβ=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
故$2α-β=-\frac{π}{4}$.

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式,和与差的正弦公式和余弦公式,二倍角公式的应用,属于基本知识的考查.

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