Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知${S_{△OAM}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，点B的纵坐标是$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
（Ⅰ）求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）求2α-β 的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据OA=OM=1，${S_{△OAM}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，利用三角形面积的公式求解出sinα和cosα，又点B的纵坐标是$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，求出sinβ和cosβ，即可求出cos（α-β）的值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中sinα和cosα，sinβ和cosβ的值，通过二倍角公式化简，构造思想可得2α-β 的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，OA=OM=1
∵${S_{△OAM}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$和α为锐角，
∴$sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
又点B的纵坐标是$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
∴$sinβ=\frac{{\sqrt{2}}}{10}，cosβ=-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$
∴$cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}（{-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}）+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\frac{{\sqrt{2}}}{10}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
（Ⅱ）∵$cos2α=2{cos^2}α-1=2{（{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）^2}-1=-\frac{3}{5}$，
$sin2α=2sinα•cosα=2\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{4}{5}$，
∴$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$
∵$β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴$2α-β∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$
∵$sin（2α-β）=sin2α•cosβ+cos2α•sinβ=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
故$2α-β=-\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式，和与差的正弦公式和余弦公式，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．