Question

（2013•汕头二模）已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中常数a∈R．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上是单调减函数，求a的取值范围；
（3）f′（x）函数f（x）的导函数，问是否存在实数x₀∈（1，e），使得对任意实数a，都有f′(x0)=

f(e)-f(1)

e-1

成立？若存在，请求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设x∈（-∞，0）则-x∈（0，+∞），再求出f（-x）利用函数是奇函数求出f（x），最后用分段函数表示出函数的解析式；
（2）根据函数f（x）是奇函数，若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减，当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减，求导，转化为导数小于等于零恒成立，利用分离参数，即可得a的取值范围；
（3）求出

f(e)-f(1)

e-1

，和f′（x₀），解方程即可求得x₀的值，从而证明结论．

解答：解：（1）f（0）=0…（1分），x＜0时，
f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），
所以f(x)=

ax+lnx，x＞0 0，x=0 ax-ln(-x)，x＜0

（2）函数f（x）是奇函数，则f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，
当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减少，
当x＞0时，f（x）=ax+lnx，f/(x)=a+

1

x

，
由f/(x)=a+

1

x

＜0得a＜-

1

x

，-

1

x

在区间（1，+∞）的取值范围为（-1，0），
所以a的取值范围为（-∞，-1]
（3）存在．

f(e)-f(1)

e-1

=

(ae+1)-a

e-1

=a+

1

e-1

…，
解f/(x0)=a+

1

x0

=a+

1

e-1

，得x₀=e-1，
因为1＜e-1＜e，
所以x₀=e-1为所求．

点评：此题是个难题．本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想．