Question

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 

1

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先求出圆心和半径，由弦长公式求得圆心到直线2ax-by+2=0的距离d=0，直线2ax-by+2=0经过圆心，可得a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．

解答：解：圆x²+y²+2x-4y+1=0 即 （x+1）²+（y-2）²=4，圆心为（-1，2），半径为 2，
设圆心到直线2ax-by+2=0的距离等于 d，则由弦长公式得 2

4-d2

=4，d=0，即
直线2ax-by+2=0经过圆心，∴-2a-2b+2=0，a+b=1，
则 

1

a

+

1

b

=

a+b

a

+

a+b

b

=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a • a b

=4，当且仅当a=b时等号成立，
故式子的最小值为 4，故答案为 4．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．