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已知定义在R上的偶函数g(x)满足:当x≠0时,xg′(x)<0(其中g′(x)为函数g(x)的导函数);定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+2)=-f(x),在区间[0,1]上为单调递增函数,且函数y=f(x)在x=-5处的切线方程为y=-6.若关于x的不等式g[f(x)]≥g(a2-a+4)对x∈[6,10]恒成立,则a的取值范围是( )
A.-2≤a≤3
B.a≤-1或a≥2
C.-1≤a≤2
D.a≤-2或a≥3
【答案】分析:根据“xg′(x)<0”和导数与函数单调性的关系,判断出函数g(x)的单调性,再将“g[f(x)]≥g(a2-a+4)对x∈[6,10]恒成立”,转化为“|f(x)|≤|a2-a+4|对x∈[6,10]恒成立”,再由条件求出函数f(x)的周期、对称轴以及f(-5)的值,再得f(-1)、f(1)、f(3)的值,再由这些性质画出大致图象,右图象求出函数f(x)在[6,10]上的值域,从而求出最大值,列出关于a的不等式求解.
解答:解:∵当x≠0时,xg′(x)<0,∴当x>0时,g′(x)<0,当x<0时,g′(x)>0,
即g(x)在(-∞,0)上递增,在(0,+∞)上递减,
∵不等式g[f(x)]≥g(a2-a+4)对x∈[6,10]恒成立,
∴|f(x)|≤|a2-a+4|对x∈[6,10]恒成立,
由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则函数f(x)是以4为周期的周期函数,
又∵f(x)是R上的奇函数,∴f(x+2)=-f(x)=f(-x),则函数f(x)的对称轴是x=1,
∵在x=-5处的切线方程为y=-6,∴f(-5)=-6,即f(-1)=f(3)=-6,f(1)=6,
再结合f(x)在区间[0,1]上为单调递增函数,且f(0)=0,画出大致图象:
由上图得,当x∈[6,10]时,f(x)∈[-6,6],
由|f(x)|≤|a2-a+4|对x∈[6,10]恒成立,得6≤|a2-a+4|,
即a2-a+4≥6或a2-a+4≤-6,化简得a2-a-2≥0或a2-a+10≤0,
解得a≤-1或a≥2,
故选B.
点评:本题是有关函数性质的综合题,考查了导数与函数单调性的关系,函数的奇偶性与单调性关系、对称性、周期性等,考查了转化思想和数形结合思想,难度以及综合程度都很大.
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已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意实数a,b都有f(a•b)=af(b)+bf(a),则(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:单选题

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意实数a,b都有f(a•b)=af(b)+bf(a),则


  1. A.
    f(x)是奇函数,但不是偶函数
  2. B.
    f(x)是偶函数,但不是奇函数
  3. C.
    f(x)既是奇函数,又是偶函数
  4. D.
    f(x)既非奇函数,又非偶函

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