Question

已知函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a，b∈R。
（1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式，并求b的最大值；
（2）若b=0时，函数h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，
f′（x）=x+2a，g′（x）=，
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即，
解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），b=（a＞0），
b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna），

；
（2）
要使h（x）在（0，4）上单调，须h′（x）=x+-6≤0或h′（x）=x+-6≥0在（0，4）上恒成立，
h′（x）=x+-6≤0在（0，4）上恒成立3a²≤-x²+6x在（0，4）上恒成立，
而-x²+6x＞0，且-x²+6x可为足够小的正数，必有a=0或在（0，4）上恒成立
，得a≥3或，
综上，所求a的取值范围为或或a=0。