Question

15．已知数列{a_n}中a₁=1，a_n+1-2a_n=3•（2）^n-1，求a_n．

Answer 1

分析 通过将a_n+1-2a_n=3•（2）^n-1两边同时除以2^n-1可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$}是首项为2、公差为3的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：a_n+1-2a_n=3•（2）^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n-1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$=3，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-2}}$=$\frac{1}{{2}^{-1}}$=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$}是首项为2、公差为3的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-2}}$=2+3（n-1）=3n-1，
∴a_n=（3n-1）2^n-2．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．