【题目】已知椭圆
上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的
倍，且点
在椭圆
上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点
任作一条直线
，与椭圆交于不同于
点的
、
两点，与直线
交于
点，记直线
、
、
的斜率分别为
、
、
.试探究
与的关系，并证明你的结论.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为
，
，据此可得
，设椭圆
的方程为：
，结合点
在椭圆上可得椭圆的方程为.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，设直线
的方程为：
即
，
，
为与椭圆的两个交点.联立直线方程与椭圆方程有
.结合韦达定理可得
.由
可得
，则
.综上可知
.
试题解析：
(Ⅰ)因为椭圆
上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为，，所以依题意有：
，
∵
，∴
.故可设椭圆的方程为：，
因为点在椭圆上，所以将其代入椭圆的方程得
.
∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)依题意，直线不可能与
轴垂直，故可设直线的方程为：即，
，为与椭圆的两个交点.
将代入方程
化简得：.
所以
，
.
.
又由
，解得
，
，
即
点的坐标为，所以
.
因此，
与
的关系为：.
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【题目】为评估设备
生产某种零件的性能，从设备
生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算，样本的平均值
，标准差
，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为
，并根据以下不等式进行评判（
表示相应事件的概率）；
①
；
②
；
③
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备
的性能等级.
（2）将直径小于等于
或直径大于
的零件认为是次品.
①从设备
的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数
的数学期望
；
②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数
的数学期望
.
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【题目】【2018江西抚州市高三八校联考】如图，在三棱锥
中， 
， 
， 
， 
，平面
平面
， 
为
的中点．
（I）求证： 
平面
；
（II）求直线
与平面
所成角的正弦值．
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【题目】已知椭圆
的中心在原点，离心率为
，右焦点到直线
的距离为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆下顶点为
，直线
（
）与椭圆相交于不同的两点
，当
时，求
的取值范围.
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【题目】2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.
（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需求量
(单位：千万立方米)与年份
(单位：年)之间的关系.并且已知关于的线性回归方程是
，试确定
的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；
（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A类：每车补贴1万元，B类：每车补贴2.5万元，C类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：
为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查，求恰好有1辆车享受3.4万元补贴的概率.
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