Question

9．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率$e=\sqrt{2}$，F₁、F₂为其左右焦点，点P在C上，且$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0$，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=2$，O是坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F₂的直线l与双曲线C交于A，B两点，求$\overrightarrow{{F_1}A}•\overrightarrow{{F_1}B}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出a=b，设出双曲线方程，根据$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=2$，求出a²=2，从而求出双曲线方程即可；（2）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理求出即可．

解答 解：（1）由e=$\sqrt{2}$⇒$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$⇒c=$\sqrt{2}$a，b=$\sqrt{{c}^{2}{-a}^{2}}$=a，
故双曲线C的方程为x²-y²=a²（a＞0）．
由$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0$⇒x_p=c=$\sqrt{2}$a，y_p=±a，又F₁（-$\sqrt{2}$a，0），F₂（$\sqrt{2}$a，0），
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=2$⇒a²=2，故得出双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（5分）
（2）由（1）知点F₁、F₂的坐标分别为（-2，0），（2，0），
当直线的斜率不存在时，得$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=14；…（7分）
当直线的斜率存在时，设其方程为y=k（x-2），并设A（x₁，k（x₁-2）），B（x₂，k（x₂-2）），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}{-y}^{2}=2}\end{array}\right.$⇒（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0，依题意知k²-1≠0．
$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₁+2，k（x₁-2））（x₂+2，k（x₂-2））=（k²+1）x₁x₂-（2k²-2）（x₁+x₂）+4k²+4，
将x₁+x₂=$\frac{{4k}^{2}}{{k}^{2}-1}$，x₁x₂=$\frac{{4k}^{2}+2}{{k}^{2}-1}$代入上式化简得：
$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=14+$\frac{12}{{k}^{2}-1}$，由k²≥0及k²≠1，$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$≤2或$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$＞14，
综上可知$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$的取值范围是（-∞，2]∪[14，+∞）．…（12分）

点评 本题考察了求双曲线的方程问题，考察直线和曲线的关系，是一道中档题．