已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,求证:.
(1)在上递减,在上递增;(2);(3)证明详见解析.
解析试题分析:(1)先求函数的导函数,然后分别求解不等式、,即可求出函数的单调增、减区间,注意函数的定义域;(2)先根据函数在取得极值,得到,进而求出的值,进而采用分离参数法得到,该不等式恒成立,进一步转化为,利用导数与最值的关系求出函数的最小值即可;(3)先将要证明的问题进行等价转化,进而构造函数,转化为证明该函数在单调递增,根据函数的单调性与导数的关系进行证明即可.
试题解析:(1)当时,
得,得
∴在上递减,在上递增
(2)∵函数在处取得极值,∴
∴
令,可得在上递减,在上递增
∴,即
(3)证明:
令,则只要证明在上单调递增
又∵
显然函数在上单调递增
∴,即
∴在上单调递增,即
∴当时,有.
考点:1.函数的单调性与导数;2.函数的极值与导数;3.函数的最值与导数;4.分离参数法;5.构造函数法.
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