Question

13．已知方程x³-ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是（-∞，3）．

Answer 1

分析 方程x³-ax+2=0，即为a=x²+$\frac{2}{x}$，由f（x）=x²+$\frac{2}{x}$，可得导数及单调区间，可得极小值，由题意可得a的范围．

解答 解：方程x³-ax+2=0，即为a=x²+$\frac{2}{x}$，
由f（x）=x²+$\frac{2}{x}$，导数f′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
可得f（x）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）递减，在（-∞，0）递减，
即有x=1处取得极小值3，
有且仅有一个实根，则a＜3．
故答案为：（-∞，3）．

点评 学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值是解决此问题的关键．是中档题．