函数
的反函数为f
-1(x),数列{a
n}和{b
n}满足:
,a
n+1=f
-1(a
n),函数y=f
-1(x)的图象在点(n,f
-1(n))(n∈N
*)处的切线在y轴上的截距为b
n.
(1)求数列{a
n}的通项公式;
(2)若数列
;的项中仅
最小,求λ的取值范围;
(3)令函数
,0<x<1.数列{x
n}满足:
,0<x
n<1且x
n+1=g(x
n),(其中n∈N
*).证明:
.
【答案】
分析:(1)先求出函数f(x)的反函数
.
,由此能求出数列{a
n}的通项公式;
(2)由
,知
,所以y=f
-1(x)在点(n,f
-1(n))处的切线方程为
,由此入手能求出λ的取值范围.
(3)
.所以
,又因0<x
n<1,则x
n+1>x
n.由此入手能够证明
.
解答:解:(1)令
,解得
;由0<x<1,解得y>0.
∴函数f(x)的反函数
.
则
,
.
∴
是以2为首项,1为公差的等差数列,故
.(4分)
(2)∵
,∴
,
∴y=f
-1(x)在点(n,f
-1(n))处的切线方程为
,
令x=0得
.∴
.
∵仅当n=5时取得最小值,∴
.
∴λ的取值范围为(9,11)(8分)
(3)
.
所以
,
又因0<x
n<1,则x
n+1>x
n(10分)
显然
.
∴
∴
=
(12分)
∵
,∴
,∴
∴
(14分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.
练习册系列答案
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n}满足:a
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,0<x
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