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已知实数x,y,z满足:(x-1)2+y2+z2=1,则2x+2y+z的最大值是
5
5
分析:换元:设x-1=w,得w2+y2+z2=1,利用柯西不等式得(2w+2y+z)2≤(22+22+12)(w2+y2+z2).因此当且仅当w=y=
2
3
,z=
1
3
时,2w+2y+z的最大值为3,进而得到2x+2y+z的最大值为3+2=5.
解答:解:设x-1=w,得(x-1)2+y2+z2=w2+y2+z2=1
∴2x+2y+z=2w+2y+z+2
∵(2w+2y+z)2≤(22+22+12)(w2+y2+z2)=9
∴-3≤2w+2y+z≤3,
当且仅当
2
w
=
2
y
=
1
z
,即w=y=
2
3
,z=
1
3
时,2w+2y+z的最大值为3
由此可得:2x+2y+z的最大值为3+2=5
故答案为:5
点评:本题给出关于x、y、z的二次等式,求2x+2y+z的最大值.着重考查了柯西不等式的应用,考查了换元的数学思想,属于中档题.
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