Question

12．设S_n为数列{a_n}的前n项和，2a_n+（-1）ⁿ•a_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ，则S₁₀=$\frac{2728}{3}$．

Answer 1

分析 2a_n+（-1）ⁿ•a_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ，∴当n=2k-1（k∈N^*）时，可得a_2k-1=0．当n=2k时，$3{a}_{2k}={2}^{n+1}$，即a_2k=$\frac{{2}^{n+1}}{3}$．再利用等比数列的前n项公式即可得出．

解答 解：∵2a_n+（-1）ⁿ•a_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ，
∴当n=2k-1（k∈N^*）时，2a_2k-1-a_2k-1=0，即a_2k-1=0．
当n=2k时，$3{a}_{2k}={2}^{n+1}$，即a_2k=$\frac{{2}^{n+1}}{3}$．
∴S₁₀=a₂+a₄+…+a₁₀
=$\frac{{2}^{3}+{2}^{5}+…+{2}^{11}}{3}$=$\frac{\frac{8×（{4}^{5}-1）}{4-1}}{3}$=$\frac{2728}{3}$．
故答案为：$\frac{2728}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的前n项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．