【题目】如图所示,,分别为椭圆的左,右焦点,椭圆上点的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c,可得M(c,b),利用勾股定理与椭圆的定义建立关于a、b、c的等式,化简整理得ba,从而得出ca,即可算出该椭圆的离心率.
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c,
可得焦点为F1(﹣c,0)、F2(c,0),点M的坐标为(c,b),
∵Rt△MF1F2中,F1F2⊥MF2,
∴|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即4c2b2=|MF1|2,
根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,
可得|MF1|2=(2a﹣|MF2|)2=(2ab)2,
∴(2ab)2=4c2b2,整理得4c2=4a2ab,
可得3(a2﹣c2)=2ab,所以3b2=2ab,解得ba,
∴ca,因此可得e,
即该椭圆的离心率等于.
故选:A.
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为且经过点P(2,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的左右顶点分别为A,B,过点A斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D,交y轴于点E.是否存在定点Q,对于任意的k(k≠0)都有BD⊥EQ,若存在,求△AQD的面积的最大值;若不存在,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,动点分别与两个定点,的连线的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设过点的直线与轨迹交于,两点,判断直线与以线段为直径的圆的位置关系,并说明理由.
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【题目】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.
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【题目】设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点在轴的负半轴上.若(为原点),且,求直线的斜率.
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【题目】若函数y=f(x)在区间D上是增函数,且函数y=在区间D上是减函数,则称函数f(x)是区间D上的“H函数”.对于命题:
①函数f(x)=-x+是区间(0,1)上的“H函数”;
②函数g(x)=是区间(0,1)上的“H函数”.下列判断正确的是( )
A. 和均为真命题 B. 为真命题,为假命题
C. 为假命题,为真命题 D. 和均为假命题
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【题目】李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.
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