分析 (Ⅰ)由点到直线的距离公式与基本不等式的性质即可得出.
(Ⅱ)设点$P(x,\frac{1}{x})$(x>0),则$d=\sqrt{{{(x-a)}^2}+{{(\frac{1}{x}-a)}^2}}=\sqrt{({x^2}+\frac{1}{x^2})-2a(x+\frac{1}{x})+2{a^2}}$,设$x+\frac{1}{x}=t$(t≥2),则${x^2}+\frac{1}{x^2}={t^2}-2$$d=\sqrt{{{(t-a)}^2}+{a^2}-2}$,设f(t)=(t-a)2+a2-2(t≥2),对a与2的大小关系分类讨论即可得出.
解答 解:(Ⅰ)由点到直线的距离公式可得:$d=\frac{{|x+2y-\sqrt{2}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|x+\frac{2}{x}-\sqrt{2}|}}{{\sqrt{5}}}≥\frac{{\sqrt{10}}}{5}$,
当且仅当$x=\sqrt{2}$时距离取得最小值$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$.
(Ⅱ)设点$P(x,\frac{1}{x})$(x>0),则$d=\sqrt{{{(x-a)}^2}+{{(\frac{1}{x}-a)}^2}}=\sqrt{({x^2}+\frac{1}{x^2})-2a(x+\frac{1}{x})+2{a^2}}$,
设$x+\frac{1}{x}=t$(t≥2),则${x^2}+\frac{1}{x^2}={t^2}-2$,$d=\sqrt{{{(t-a)}^2}+{a^2}-2}$,设f(t)=(t-a)2+a2-2(t≥2)
对称轴为t=a
分两种情况:
(1)a≤2时,f(t)在区间[2,+∞)上是单调增函数,故t=2时,f(t)取最小值
∴${d_{min}}=\sqrt{{{(2-a)}^2}+{a^2}-2}=2\sqrt{2}$,∴a2-2a-3=0,∴a=-1(a=3舍).
(2)a>2时,∵f(t)在区间[2,a]上是单调减,在区间[a,+∞)上是单调增,
∴t=a时,f(t)取最小值,
∴${d_{min}}=\sqrt{{{(a-a)}^2}+{a^2}-2}=2\sqrt{2}$,∴$a=\sqrt{10}$($a=-\sqrt{10}$(舍),
综上所述,a=-1或$\sqrt{10}$.
点评 本题考查了函数的性质、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.
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A. | -$\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | ±$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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科目:高中数学 来源:2016-2017学年江西吉安一中高二上段考一数学(理)试卷(解析版) 题型:选择题
一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥侧面积是( )
A. B. C. D.8
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A. | 0.25 | B. | 0.30 | C. | 0.35 | D. | 0.40 |
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