精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
9.已知向量$\overrightarrow m=(sin2x,cos2x),\overrightarrow n=(cos\frac{π}{4},sin\frac{π}{4})$,函数f(x)=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在[-π,π]上零点.

分析 (1)利用两个向量的数量积公式求得f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期性得出结论.
(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的零点求得函数g(x)在[-π,π]上零点.

解答 解:(1)∵$f(x)=\sqrt{2}\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{2}(sin2xcos\frac{π}{4}+cos2xsin\frac{π}{4})=\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$,
∴f(x)的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$.
(2)由(Ⅰ)知f(x)=$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$),将函数f(x)的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位,
得到图象的解析式为y=$\sqrt{2}$sin[2(x-$\frac{π}{24}$)+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{6}$),
在将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到g(x)=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{6}$),
由x+$\frac{π}{6}$=kπ,得x=kπ-$\frac{π}{6}$,k∈Z.
故当x∈[-π,π]时,函数g(x)的零点为-$\frac{π}{6}$和$\frac{5π}{6}$.

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式,正弦函数的周期性,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的零点,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.已知椭圆的焦点是F1(-1,0)和F2(1,0),离心率$e=\frac{1}{2}$.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点P是椭圆上一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.已知集合P={1,3,5,7},Q={x|2x-1>11},则P∩Q等于(  )
A.{7}B.{5,7}C.{3,5,7}D.{x|6<x≤7}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.中心在原点,焦点坐标为$(±\sqrt{2},0)$的椭圆被直线y=x+1截得的弦中点横坐标为$-\frac{2}{3}$,则椭圆方程为(  )
A.$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$B.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$D.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.下列各命题是真命题的是(  )
A.如果a>b,那么$\frac{a}{c}$>$\frac{b}{c}$B.如果ac<bc,那么a<b
C.如果a>b,c>d,那么a-c>b-dD.如果a>b,那么a-c>b-c

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

14.某公司的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有下列对应数据
x24568
y3040605070
回归方程为$\widehat{y}$=bx+a其中b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$
(1)根据表中提供的数据,求出y与x的回归方程k;
(2)预测销售额为115万元时,大约需要多少万元广告费.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.已知等差数列{an}的前n项和 Sn,且a4=11,S8=100;数列{bn}满足${b_1}=\frac{1}{2}{a_1}$,anbn+1+bn+1=nbn
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

18.已知正实数a,b满足a+b=3,则$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{4+b}$的最小值为(  )
A.1B.$\frac{7}{8}$C.$\frac{9}{8}$D.2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),且f(3)-f(2)=1.
(1)若f(3m-2)<f(2m+5),求实数m的取值范围;
(2)求使$f({x-\frac{2}{x}})={log_{\frac{9}{4}}}\frac{49}{4}$成立的x的值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案