Question

（2011•广州模拟）如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A发生偶数次的概率为

1

2

[1+(1-2p)n]

．

Answer 1

分析：事件A发生偶数次的概率为 C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…，而把[（1-p）+p]ⁿ和[（1-p）-p]ⁿ的展开式相加并除以2，即可得到事件A发生偶数次的
概率．

解答：解：事件A发生偶数次的概率为 C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…
又[（1-p）+p]ⁿ=C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n¹p¹（1-p）^n-1+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n³p³（1-p）^n-3+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…+C_nⁿpⁿ（1-p）⁰  ①，
[（1-p）-p]ⁿ=C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ-C_n¹p¹（1-p）^n-1+C_n²p²（1-p）^n-2-C_n³p³（1-p）^n-3+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…+（-1）ⁿC_nⁿpⁿ（1-p）⁰ ②，
由①+②并除以2 可得

1

2

[1+(1-2p)n]=C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…，
故答案为：

1

2

[1+(1-2p)n]．

点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，二项式定理的应用，得到[（1-p）+p]ⁿ和[（1-p）-p]ⁿ的展开式，是解题的关键，属于中档题．