Question

已知双曲线C₁：x2-

y2

3

=1，若抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F到双曲线C₁的渐近线的距离为

3

．
求：（1）C₂方程．
（2）若直线y=kx+b经过点F，且与曲线C₁仅有一个公共点，求直线y=kx+b的方程．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的方程易求出双曲线的渐近线方程，进而代入点到直线距离公式，求出p值，求出C₂方程．
（2）联立直线与双曲线方程，根据直线与双曲线只有一个交点，则方程有唯一的根，可求出k值，进而得到直线方程．

解答：解：（1）∵双曲线C₁：x2-

y2

3

=1，
∴双曲线C₁的渐近线方程为y=±

3

x，即±

3

x+y=0
∵抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，

p

2

）到双曲线C₁的渐近线的距离为

3

∴

3

=

p 2

2

，解得p=4

3

∴C₂方程x²=8

3

y
（2）∵直线y=kx+b经过点F，
∴b=2

3

即y=kx+2

3

…①
将方程代入双曲线C₁：x2-

y2

3

=1得：(1-

k2

3

)x2-

4 3

3

kx+3=0…②
若直线与曲线C₁仅有一个公共点，则方程②有且只有一个解
故k=±

3

或△=

16

3

-12(1-

k2

3

 )=0
解得k=±

3

或k=±

15

3

直线的方程为y=

3

x+2

3

，y=-

3

x+2

3

，y=

15

3

x+2

3

或y=-

15

3

x+2

3

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的标准方程，熟练掌握圆锥曲线的标准方程及简单几何特征是解答的关键．