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18.已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,且经过点D(2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$).
(1)求C的方程;
(2)若P(x0,y0)是第一象限C上异于点D的动点,过原点向圆(x-x02+(y-y02=8作切线交C于G,H两点,设直线OG,OH的斜率分别为kOG,kOH,证明:2kOGkOH+1=0.

分析 (1)利用椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,且经过点D(2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$),建立方程,求出a,b,c,即可求C的方程;
(2)设切线方程为y=kx,利用点到直线的距离公式建立方程,利用韦达定理,即可证明结论.

解答 解:(1)根据题意可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\ \begin{array}{l}\frac{8}{a^2}+\frac{8}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\end{array}}\right.$,
解得a2=24,b2=12,
所以C的方程为$\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{12}=1$.----------------(4分)
证明:(2)根据题意设切线方程为y=kx,则$\frac{{|{k{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2\sqrt{2}$,
整理得$({x_0}^2-8){k^2}-2k{x_0}{y_0}+{y_0}^2-8=0$,
因为kOG,kOH是该方程的两个根,
所以${k_{OG}}•{k_{OH}}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$,
又因为$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$,即$y_0^2=12-\frac{1}{2}x_0^2$,
所以${k_{OG}}•{k_{OH}}=\frac{{4-\frac{1}{2}x_0^2}}{x_0^2-8}=-\frac{1}{2}$,
即2kOG•kOH+1=0.-----------(12分)

点评 本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与圆的位置关系,考查韦达定理的运用,属于中档题.

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