Question

如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出

EF

EA

；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．
因为EB=EA，所以EO⊥AB．…（1分）
因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．…（2分）
因为EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD．…（3分）
因为ED?平面EOD
所以AB⊥ED．…（4分）
（Ⅱ）因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD，
因为OD?平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．…（5分）
因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以

EC

=(1，1，-1)，平面ABE的一个法向量为

OD

=(0，1，0)．…（7分）
设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以sinθ=|cos?

EC

，

OD

＞|=

| EC • OD |

| EC || OD |

=

3

3

，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为

3

3

．…（9分）
（Ⅲ）存在点F，且

EF

EA

=

1

3

时，有EC∥平面FBD．…（10分）
证明如下：由

EF

=

1

3

EA

=(-

1

3

，0，-

1

3

)，F(-

1

3

，0，

2

3

)，所以

FB

=(

4

3

，0，-

2

3

)．
设平面FBD的法向量为

v

=（a，b，c），则有

v • BD =0 v • FB =0

所以

-a+b=0 4 3 a- 2 3 z=0.

取a=1，得

v

=（1，1，2）．…（12分）
因为

EC

•

v

=（1，1，-1）•（1，1，2）=0，且EC?平面FBD，所以EC∥平面FBD．
即点F满足

EF

EA

=

1

3

时，有EC∥平面FBD．…（14分）