Question

给出下列命题：
①过点P（2，1）的抛物线的标准方程是y2=

1

2

x；
②双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点；
③焦点在x轴上的双曲线C，若离心率为

5

，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x．
④椭圆

x2

m+1

+

y2

m

=1的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为2，则m的值为2．其中真命题的序号为

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：①过点P（2，1）的抛物线的标准方程是y2=

1

2

x，用待定系数法求出抛物线的方程，对比判断；
②双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点，求出焦点坐标判断；
③焦点在x轴上的双曲线C，若离心率为

5

，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x，由题设条件求出渐近线方程．
④椭圆

x2

m+1

+

y2

m

=1的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为2，则m的值为2，由椭圆的简单性质判断．

解答：解：①过点P（2，1）的抛物线的标准方程是y2=

1

2

x是错误命题，因为还有一条焦点在y轴上的抛物线；
②双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点，是正确命题，因为两个曲线的焦点都在x轴上，半焦距c相等都是

34

；
③焦点在x轴上的双曲线C，若离心率为

5

，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x，是正确命题，因为离心率为

5

解得其渐近线方程为y=±2x，故正确．
④椭圆

x2

m+1

+

y2

m

=1的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为2，则m的值为2是错误命题，这是因为，由解析式知，半焦距长为1，，△PF₁F₂的面积的最大值为2，即bc=2．可得b=2，故m=4，
综上，正确命题是②③
故答案为：②③．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是熟练掌握圆锥曲线的性质，并能根据它们的性质进行推理判断，得出结论．