【题目】已知椭圆的两个焦点,与短轴的一个端点构成一个等边三角形,且直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过椭圆的左顶点的两条直线,分别交椭圆于,两点,且,求证:直线过定点,并求出定点坐标;
(3)在(2)的条件下求面积的最大值.
【答案】(1);(2)证明见;解析;定点;(3).
【解析】
(1)根据直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径列一个方程,再根据等边三角形性质得,解方程组得 ,即得结果;
(2)先设直线方程,与椭圆方程联立分别解得M,N坐标,再求斜率(注意讨论),利用点斜式得直线方程,即得定点坐标;
(3)利用韦达定理以及弦长公式得,再根据三角形面积公式得面积的函数关系式,最后根据基本不等式求最大值.
(1)由题意可得:,,
椭圆的方程为:.
(2)由题意知,设:,.
由消去得:,
解得:或(舍去),,
,同理可得:.
i:当时,直线斜率存在,
,
,直线过定点.
ii:当时,直线斜率不存在,直线方程为:,也过定点,
综上所述:直线过定点.
(3)设,由(2)知:
,
令,在单调递减,
∴当时,.
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【题目】平面上有7个点,每三点的两两连线都组成一个不等边三角形.求证:一定可以找到4对三角形,使每对三角形的公共边既是其中一个三角形的最长边又是另一个三角形的最短边.
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【题目】甲乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率;
(2)2人中恰有1人射中目标的概率;
(3)2人至少有1人射中目标的概率。
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【题目】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的解集.
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【题目】已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+(c>0,n∈N*),
(Ⅰ)证明:an+1>an≥1;
(Ⅱ)若对任意n∈N*,都有,证明:(ⅰ)对于任意m∈N*,当n≥m时,
(ⅱ)
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【题目】下列说法正确的是( )
A.某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类,不同的结果共有种;
B.甲乙两人独立地解题,已知各人能解出的概率分别是,则题被解出的概率是;
C.某校名教师的职称分布情况如下:高级占比,中级占比,初级占比,现从中抽取名教师做样本,若采用分层抽样方法,则高级教师应抽取人;
D.两位男生和两位女生随机排成一列,则两位女生不相邻的概率是.
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【题目】为了了解某高校学生喜欢使用手机支付是否与性别有关,抽取了部分学生作为样本,统计后作出如图所示的等高条形图,则下列说法正确的是( )
A.喜欢使用手机支付与性别无关
B.样本中男生喜欢使用手机支付的约
C.样本中女生喜欢使用手机支付的人数比男生多
D.女生比男生喜欢使用手机支付的可能性大些
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【题目】已知椭圆: 的离心率为,以为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,和平面内一点(),过点任作直线与椭圆相交于, 两点,设直线, , 的斜率分别为, , , ,试求, 满足的关系式.
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