Question

已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，且A=B．
（Ⅰ）证明：b=0；
（Ⅱ）求a的最大值．

Answer 1

考点：集合的相等

专题：集合

分析：（Ⅰ）利用集合相等得到f（0）=0，从而求b；
（Ⅱ）讨论a与0的关系，在a≠0时，因为 A=B，对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立，结合正弦函数的有界性得到 |

kπ

a

|＞1，求得a的最大值．

解答： （Ⅰ）证明：显然集合A≠∅．
设 x₀∈A，则f（x₀）=0．（1分）
因为 A=B，
所以 x₀∈B，即 f（f（x₀））=0，
所以 f（0）=0，（3分）
所以 b=0．（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=asinx，a∈Z．
①当a=0时，显然满足A=B．（5分）
②当a≠0时，此时A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，即B={x|asinx=kπ，k∈Z}．（6分）
因为 A=B，
所以对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立．（7分）
所以对于任意x∈R，sinx≠

kπ

a

，所以 |

kπ

a

|＞1，（8分）
即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．
所以|a|＜π，（9分）
所以整数a的最大值是3．（10分）

点评：本题考查集合相等的运用以及正弦函数的有界性的运用，属于中档题．