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    设数列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)，即当(k∈N*)时，an＝(－1)k－1k，记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，用数学归纳法证明Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．

     

    见解析

    【解析】①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－1·(2＋1)＝－3，

    故原式成立．

    ②假设当i＝m时，等式成立，即Sm(2m＋1)＝－m·(2m＋1)．

    则当i＝m＋1时，

    S(m＋1)[2(m＋1)＋1]＝S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)，故原式成立．

    综合①②得：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．

     

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