Question

15．△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosC}{c}$=$\frac{1}{b}$，b=4，且a＞c．
（1）求ac的值；
（2）若△ABC的面积为2$\sqrt{7}$，求a，c的值．

Answer 1

分析 （1）运用余弦定理，化简整理，计算即可得到ac的值；
（2）由三角形的面积公式可得sinB，求得cosB，再由余弦定理可得a，c关系式，解方程可得a，c的值．

解答 解：（1）$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosC}{c}$=$\frac{1}{b}$，b=4，
可得acosC+ccosA=$\frac{ac}{4}$，
由余弦定理可得a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{ac}{4}$，
即有b=$\frac{ac}{4}$，则ac=16；
（2）△ABC的面积为2$\sqrt{7}$，
可得$\frac{1}{2}$acsinB=2$\sqrt{7}$，
即有sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
cosB=±$\sqrt{1-\frac{7}{16}}$=±$\frac{3}{4}$，
b²=a²+c²-2accosB，
即为16=a²+c²-24，或16=a²+c²+24（舍去），
又ac=16，（a＞c＞0），
解得a=4$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查化简整理的圆能力，属于中档题．