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15.△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosC}{c}$=$\frac{1}{b}$,b=4,且a>c.
(1)求ac的值;
(2)若△ABC的面积为2$\sqrt{7}$,求a,c的值.

分析 (1)运用余弦定理,化简整理,计算即可得到ac的值;
(2)由三角形的面积公式可得sinB,求得cosB,再由余弦定理可得a,c关系式,解方程可得a,c的值.

解答 解:(1)$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosC}{c}$=$\frac{1}{b}$,b=4,
可得acosC+ccosA=$\frac{ac}{4}$,
由余弦定理可得a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{ac}{4}$,
即有b=$\frac{ac}{4}$,则ac=16;
(2)△ABC的面积为2$\sqrt{7}$,
可得$\frac{1}{2}$acsinB=2$\sqrt{7}$,
即有sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$,
cosB=±$\sqrt{1-\frac{7}{16}}$=±$\frac{3}{4}$,
b2=a2+c2-2accosB,
即为16=a2+c2-24,或16=a2+c2+24(舍去),
又ac=16,(a>c>0),
解得a=4$\sqrt{2}$,c=2$\sqrt{2}$.

点评 本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用,考查化简整理的圆能力,属于中档题.

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