Question

【题目】已知圆心为的圆过原点，且直线与圆相切于点.

（1）求圆的方程；

（2）已知过点的直线的斜率为，且直线与圆相交于两点.

①若，求弦的长；

②若圆上存在点，使得成立，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】

试题（1）圆心在线段的垂直平分线上，圆心也在过点且与垂直的直线上，联立求圆心，进而得半径即可；

（2）①垂径定理即可求弦长；

②圆上存在点，使得成立，即四边形是平行四边形，又，有都是等边三角形，进而得圆心到直线的距离为，列方程求解即可.

试题解析：

（1）由已知得，圆心在线段的垂直平分线上，

圆心也在过点且与垂直的直线上，

由得圆心，

所以半径，

所以圆的方程为；

（2）①由题意知，直线的方程为，即，

∴圆心到直线的距离为，

∴；

②∵圆上存在点，使得成立，

∴四边形是平行四边形，

又，

∴都是等边三角形，

∴圆心到直线的距离为，

又直线的方程为，即，

∴，

解得.