Question

9．求证：?n∈N^*，都有1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜$\frac{2}{3}$（n+1）ⁿ⁺¹成立．

Answer 1

分析 利用数学归纳法证明即可，注意证明当n=k+1时的再一次放缩．

解答 证明：（1）当n=1时，左边=1¹⁺¹=1，右边=$\frac{2}{3}×{2}^{2}$=$\frac{8}{3}$，∴左边＜右边，成立；
（2）假设对于任意n=k∈N^*，1^k+1+2^k+1+3^k+1+…+k^k+1＜$\frac{2}{3}（k+1）^{k+1}$成立，
则当n=k+1时，左边=1^k+2+2^k+2+…+k^k+2+（k+1）^k+2＜$\frac{2}{3}（k+1）^{k+1}$+（k+1）^k+2，
下面证明$\frac{2}{3}（k+1）^{k+1}$+（k+1）^k+2$＜\frac{2}{3}（k+2）^{k+2}$，即（k+1）^k+1（3k+5）＜2（k+2）^k+2，即证明：$\frac{3}{2}$$＜（1+\frac{1}{k+1}）^{k+1}$，
上式成立，因此当n=k+1时，左边＜右边，不等式成立．
综上（1）（2）可知：?n∈N^*，都有1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜$\frac{2}{3}$（n+1）ⁿ⁺¹成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．