Question

设{a_n}{b_n}是两个数列，点M(1，2)，An(2，an)Bn(

n-1

n

，

2

n

)为直角坐标平面上的点．
（Ⅰ）对n∈N^*，若三点M，A_n，B_n共线，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：log2cn=

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

，其中{c_n}是第三项为8，公比为4的等比数列．求证：点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一条直线上，并求出此直线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用对n∈N^*，若三点M，A_n，B_n共线，写出斜率关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）通过{c_n}是第三项为8，公比为4的等比数列，求出c_n，利用log2cn=

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

，推出a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=n（n+1）（2n-3），然后利用斜率证明点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一条直线上，并求出此直线的方程．

解答：解：（Ⅰ）因三点M，A_n，B_n共线，
∴

an-2

2-1

=

2 n -2

n-1 n -1

得a_n=2+2（n-1）故数列{a_n}的通项公式为 a_n=2n…（6分）
（Ⅱ）由题意cn=8•4n-3=22n-3，
a1+a2+…+an=

n(2+2n)

2

=n(n+1)
由题意得 cn=2

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

，
∴22n-3=2

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

∴2n-3=

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

，
∴a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=n（n+1）（2n-3）
当n≥2时，a_nb_n=n（n+1）（2n-3）-（n-1）n（2n-5）=n（6n-8）
∵a_n=2n∴b_n=3n-4．当n=1时，b₁=-1，也适合上式，
∴b_n=3n-4（n∈N^*）
因为两点P₁、P_n的斜率K=

bn-b1

n-1

=

(n-1)•3

n-1

=3（n∈N^*）为常数
所以点列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…，P_n（n，b_n）在同一条直线上，
且方程为：y-b₁=3（x-1），即3x-y-4=0．…（14分）

点评：本题考查数列与函数的综合问题，数列通项公式的求法，考查逻辑思维能力，计算能力．