Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x²-ax-a，其中a＞0．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]（t∈[-3，-1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）-m（t），求函数g（t）在区间[-3，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由导数与函数单调性的关系解不等式即可；
（Ⅱ）函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，即其图象在（-2，0）内与x轴有两个交点，结合图象可得出f（-2）、f（0）及极值符号，从而可求出a的范围；
（Ⅲ）先求出M（t），m（t），再求出g（t），从而可求得g（t）在[-3，-1]上最小值，其间需要根据极点-1，1所在区间情况分类讨论．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），又a＞0，
∴当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当-1＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）的单调增区间为：（-∞，-1），（a，+∞）；单调减区间为：（-1，a）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，
从而函数f（x）在（-2，0）内恰有两个零点当且仅当

f(-2)＜0 f(-1)＞0 f(0)＜0

，解得0＜a＜

1

3

．
所以a的取值范围是（0，

1

3

）．
（Ⅲ）a=1时，f（x）=

1

3

x3-x-1．由（Ⅰ）知f（x）在[-3，-1]上单调递增，在[-1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
（1）当t∈[-3，-2]时，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上单调递增，在[-1，t+3]上单调递减，
因此，f（x）在[t，t+3]上的最大值M（t）=f（-1）=-

1

3

，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者．
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[-3，-2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（-1）-f（t）．
而f（t）在[-3，-2]上单调递增，因此f（t）≤f（-2）=-

5

3

．所以g（t）在[-3，-2]上的最小值为g（-2）=-

1

3

-(-

5

3

)=

4

3

．
（2）当t∈[-2，-1]时，t+3∈[1，2]，且-1，1∈[t，t+3]．下面比较f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．
由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上单调递增，有f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）．
又由f（1）=f（-2）=-

5

3

，f（-1）=f（2）=-

1

3

，从而M（t）=f（-1）=-

1

3

，m（t）=f（1）=-

5

3

．
所以g（t）=M（t）-m（t）=

4

3

．
综上，函数g（t）在区间[-3，-1]上的最小值为

4

3

．

点评：本题考查了应用导数研究函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．