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抛物线y2=2px的准线的方程为x=-2,该抛物线上的每个点到准线x=-2的距离都与到定点N的距离相等,圆N是以N为圆心,同时与直线l1:y=x和l2:y=-x相切的圆.
(1)求定点N的坐标; 
(2)是否存在一条直线l同时满足下列条件:
①l分别与直线l1和l2交于A、B两点,且AB中点为E(4,1);
②l被圆N截得的弦长为2.
分析:(1)因为抛物线y2=2px的准线的方程为x=-2,所以p=4,再根据抛物线的定义可求出定点N的坐标.
(2)假设存在直线l满足两个条件,显然l斜率存在,设l的方程为y-1=k(x-4),(k≠±1)以N为圆心,同时与直线l1:y=x和l2:y=-x相切的圆N的半径为
2
,因为l被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,由此入手能够推导出不存在满足条件的直线l.
解答:解:(1)因为抛物线y2=2px的准线的方程为x=-2
所以p=4,根据抛物线的定义可知:
点N是抛物线的焦点,
所以定点N的坐标为(2,0)
(2)解:假设存在直线l满足两个条件,显然l斜率存在,
设l的方程为y-1=k(x-4),(k≠±1)
以N为圆心,同时与直线l1:y=x和l2:y=-x相切的圆N的
半径为
2
,因为l被圆N截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离等于1,
d=
|2k-1|
1+k2
=1

解得k=0或
4
3

当k=0时,显然不合AB中点为E(4,1)的条件,矛盾!
k=
4
3
时,l的方程为4x-3y-13=0
4x-3y-13=0
y=x             
,解得点A坐标为(13,13),
4x-3y-13=0
y=-x            
,解得点B坐标为(
13
7
,-
13
7
)

显然AB中点不是E(4,1),矛盾!
所以不存在满足条件的直线l.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的综合运用,具有一定的难度,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线x2-
y2
3
=1
的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=
2
|AF|
,则△AFK的面积为(  )
A、4B、8C、16D、32

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若抛物线y2=2px的焦点与双曲线
x
3
2
-y2=1
的右焦点重合,则p的值为(  )
A、2
2
B、4
C、-4
D、2

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(2010•河西区一模)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线
x2
9
-
y2
5
=1
的右焦点重合,则p的值为
2
14
2
14

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