Question

（2012•吉安二模）对于使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若a＞0，b＞0，且a+b=1，则-

1

2a

-

2

b

的上确界为

-

9

2

．

Answer 1

分析：利用基本不等式求出

1

2a

+

2

b

的最小值，再求出-

1

2a

-

2

b

的最大值，根据新定义，即可得到结论．

解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1
∴

1

2a

+

2

b

=(

1

2a

+

2

b

)(a+b)=

5

2

+

b

2a

+

2a

b

≥

5

2

+2=

9

2

当且仅当

b

2a

=

2a

b

，即a=

1

3

，b=

2

3

时，取得最小值
∴-

1

2a

-

2

b

≤-

9

2

∵使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界
∴-

1

2a

-

2

b

的上确界为-

9

2

故答案为：-

9

2

点评：本题重点考查新定义，考查基本不等式的运用，解题的关键是利用基本不等式求出

1

2a

+

2

b

的最小值．