Question

8．若过点A（0，-1）的直线l与曲线x²+（y-3）²=12有公共点，则直线l的斜率的取值范围为$（{-∞，-\frac{{\sqrt{5}}}{5}}]∪[{\frac{{\sqrt{5}}}{5}，+∞}）$．

Answer 1

分析 用代数法，先联立方程，消元后得到一个方程，再考虑二次项系数为0与不为0讨论，即可求得直线l的斜率的取值范围

解答 解：设直线方程为y=kx-1（k≠0），
根据题意：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+（y-3）^{2}=12}\end{array}\right.$，
消去y整理得（1-k²）x²-8kx+4=0，
当1-k²=0即k=±1时，方程有解．
当1-k²≠0时，
∵△≥0，即64k²-16（1-k²）≥0，
∴k∈（-∞，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$]∪[$\frac{\sqrt{5}}{5}$，+∞）．
故答案是：$（{-∞，-\frac{{\sqrt{5}}}{5}}]∪[{\frac{{\sqrt{5}}}{5}，+∞}）$．

点评 本题的考点是直线与圆的关系，主要考查直线与双曲线的位置关系，在只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况．