Question

已知a，b是正数，且满足2＜a+2b＜4．那么a²+b²的取值范围是（　　）

A．（ 4 5 ， 16 5 ）

B．（ 4 5 ，16）

C．（1，16）

D．（ 16 5 ，4）

Answer 1

以a为横坐标、b为纵坐标，在aob坐标系中作出不等式2＜a+2b＜4表示的平面区

域，
得到如图的四边形ABCD内部，（不包括边界）
其中A（2，0），B（0，1），C（0，2），D（4，0）
设P（a，b）为区域内一个动点，
则|OP|=

a2+b2

表示点P到原点O的距离
∴z=a²+b²=|OP|²，
可得当P与D重合时，P到原点距离最远，
∴z=a²+b²＜(

42+02

)2=16
可得当P点在直线BA上，且满足OP⊥AB时，
P到原点距离最近，等于

1×2

12+22

=

2 5

5

∴z=a²+b²＞(

2 5

5

)2=

4

5

综上所述，可得a²+b²的取值范围是（

4

5

，16）
故选：B