Question

【题目】已知a∈R，解关于x的不等式（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2＜0．

Answer 1

【答案】解：当a≠1时，关于x的方程（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2=0，

△=（2a+3）2﹣4（a﹣1）（a+2）=8a+17，

当a＞﹣ 时，关于x的方程有两个不相等的实根x1= ，x2=

当a=﹣ 时，方程有两个相等的实根x=﹣ ；

当a＜﹣ 时，方程没有实根；

∴关于x的不等式（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2＜0的解如下：

当a＜﹣ 时，不等式（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2＜0的解集为R；

当a=﹣ 时，不等式（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2＜0的解集为{x|x≠﹣ }；

当1＞a＞﹣ 时，不等式（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2＜0的解集为

{x|x＞ 或x＜ }；

当a=1时，不等式（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2＜0的解集为{x|x＜﹣ }；

当a＞1时，不等式（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2＜0的解集为

{x| ＜x＜ }

【解析】本题考查的是一元二次不等式的解法，对a的取值进行讨论(1)当a=1时，不等式为一元一次不等式故解集为{x|x＜﹣ }（2）当a≠1时，不等式为一元二次不等式根据一元二次不等式的解法可得结果。

【考点精析】认真审题，首先需要了解解一元二次不等式(求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边)．