Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=1．
（I）若直线l过点 A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（II）若从圆C₁的圆心发出一束光线经直线x-y-3=0反射后，反射线与圆C₂有公共点，试求反射线所在直线的斜率的范围．

Answer 1

分析 （I）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（II）圆C₁的圆心（-3，1）经直线x-y-3=0对称后的点记为 A（4，-6），直线与圆C₂有公共点即直线与圆相交或相切，故利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式，即可求反射线所在直线的斜率的范围．

解答 解：（I）由于直线x=4与圆C₁不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x-4）
圆C₁的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$
∴d=1
∴d=$\frac{|-1-7k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，从而k（24k+7）=0即k=0或k=-$\frac{7}{24}$
∴直线l的方程为：y=0或$y=-\frac{7}{24}（{x-4}）$，即y=0或7x+24y-28=0．
（II）圆C₁的圆心（-3，1）经直线x-y-3=0对称后的点记为 A（4，-6），
设反射光线所在的直线的斜率为k，则反射光线所在的直线方程为y+6=k（x-4）⇒kx-y-4k-6=0．
圆C₂的圆心（4，5）．
直线与圆C₂有公共点即直线与圆相交或相切，则$d=\frac{{|{4k-5-4k-6}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}≤1$⇒$\sqrt{{k^2}+1}≥11$
⇒k²≥120⇒$k≤-2\sqrt{30}$或$k≥2\sqrt{30}$．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，关于坐标轴对称的点的特点，切线的性质．解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．