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已知直线l1:x+a(a+1)y+1=0和直线l2:bx+y+1=0垂直,且直线l2分别与x轴、y轴交于点A、B;O为原点,若△AOB的面积存在最小值,则实数b的取值范围是    
【答案】分析:利用两直线垂直的条件得出字母a,b的关系式是解决本题的关键.将△AOB的面积表示为字母的函数关系,发现面积何时取到最小值进行求解实数b的取值范围.
解答:解:由两直线垂直,得出b=-a(a+1)=-a2-a,
l2分别与x轴、y轴交于点A(-,0)(b≠0)、B(0,-1).
故△AOB的面积为
若△AOB的面积存在最小值,也就是|b|=|a2+a|存在最大值,
因此b∈(-∞,0)∪(0,+∞).
故答案为:(-∞,0)∪(0,+∞).
点评:本题考查平面解析几何中两直线垂直的等价条件,利用该等价条件得出a,b的关系之后,充分利用△AOB的面积与a,b的关系,考查学生的等价转化能力.
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