Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，过E（x₀，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若$\frac{1}{|EA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|EB{|}^{2}}$为定值m，则x₀=$\sqrt{3}$；m=2．

Answer 1

分析 设直线AB的参数方程，可得A，B的坐标，把直线AB的方程代入椭圆的方程，得到根与系数的关系，可得$\frac{1}{|EA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|EB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+12+（24-8{{x}_{0}}^{2}）si{n}^{2}α}{（{{x}_{0}}^{2}-6）^{2}}$，由于$\frac{1}{|EA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|EB{|}^{2}}$为定值m，因此24-8x₀²=0，解出即可．

解答 解：设直线AB的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，
A（x₀+t₁cosα，t₁sinα），B（x₀+t₂cosα，t₂sinα）．
把直线AB的方程代入椭圆的方程x²+3y²=6，
化为（1+2sin²α）t²+2x₀tcosα+x₀²-6=0．
∴t₁+t₂=-$\frac{2{x}_{0}cosα}{1+2si{n}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-6}{1+2si{n}^{2}α}$．
∴t₁²+t₂²=（t₁+t₂）²-2t₁t₂=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+12+（24-8{{x}_{0}}^{2}）si{n}^{2}α}{（1+2si{n}^{2}α）^{2}}$，
∴$\frac{1}{|EA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|EB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+12+（24-8{{x}_{0}}^{2}）si{n}^{2}α}{（{{x}_{0}}^{2}-6）^{2}}$，
∵$\frac{1}{|EA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|EB{|}^{2}}$为定值，
∴24-8x₀²=0，又x₀＞0．
解得x₀=$\sqrt{3}$，m=$\frac{6+12}{9}$=2．
故答案为：$\sqrt{3}$，2．

点评 本题考查了直线与椭圆相交定值问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的参数方程及其参数的意义，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．