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【选修4-5:不等式选讲】
已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
1
2a+1
+
4
2b+1
9
4
分析:根据(2a+1)+(2b+1)=4,2a+1>0,2b+1>0则
1
2a+1
+
4
2b+1
=
1
4
[(2a+1)+(2b+1)]×(
1
2a+1
+
4
2b+1
),然后利用基本不等式可证明不等式.
解答:解:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴(2a+1)+(2b+1)=4,2a+1>0,2b+1>0
1
2a+1
+
4
2b+1
=
1
4
[(2a+1)+(2b+1)]×(
1
2a+1
+
4
2b+1

=
1
4
[1+4+
2b+1
2a+1
+
4(2a+1)
2b+1
]
1
4
(5+2
2b+1
2a+1
×
4(2a+1)
2b+1
)=
9
4

当且仅当
2b+1
2a+1
=
4(2a+1)
2b+1
,且a+b=1即a=
1
6
,b=
5
6
时取等号
1
2a+1
+
4
2b+1
9
4
点评:本题主要考查了不等式的证明,以及基本不等式的应用,解题的关键
1
4
[(2a+1)+(2b+1)]=1的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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【选修4-5:不等式选讲】
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(Ⅰ)|2x-1|-|x+3|>0
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【选修4-5:不等式选讲】
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(1)当m=2时,解关于x的不等式g(x)≥0;
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.

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【选修4-5:不等式选讲】
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(Ⅰ)求x+2y+2z的取值范围;
(Ⅱ)若不等式|a-3|+
a2
≥x+2y+2z
对一切实数x,y,z恒成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

【选修4-5、不等式选讲】
关于x的不等式lg(|x+3|-|x-7|)<m.
(Ⅰ)当m=1时,解此不等式;
(Ⅱ)设函数f(x)=lg(|x+3|-|x-7|),当m为何值时,f(x)<m恒成立?

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